Cómo resolver una ecuación cúbica con Cardano paso a paso

Resolver una ecuación cúbica no consiste solo en memorizar una fórmula; consiste en saber cuándo usarla, cómo simplificar el polinomio y qué hacer cuando aparecen raíces reales múltiples. En este artículo explico la fórmula de Cardano con un enfoque práctico, los pasos para pasar de la forma general a la reducida y los atajos que suelo recomendar en exámenes. También verás un ejemplo resuelto, los casos en que la cuenta se complica y los errores que más hacen perder puntos.

Qué significa resolver una ecuación de tercer grado

Una ecuación cúbica tiene la forma ax³ + bx² + cx + d = 0, con a ≠ 0. A diferencia de una cuadrática, puede tener una sola raíz real o tres reales, y esa diferencia cambia por completo la estrategia de resolución. Yo suelo empezar por dos preguntas muy concretas: ¿se puede factorizar rápido? y ¿conviene primero quitar el término cuadrático?

Si divido toda la ecuación entre a y hago el cambio x = t - b/(3a), desaparece el término t2 y queda la forma reducida t³ + pt + q = 0. Con esta convención, p = (3ac - b²)/(3a²) y q = (2b³ - 9abc + 27a²d)/(27a³). Esa reducción es el paso que muchos saltan, y sin él la fórmula sale desordenada y propensa a errores.

La señal que me dice qué camino seguir es D = (q/2)² + (p/3)³. Si D > 0, hay una raíz real y dos complejas; si D = 0, aparecen raíces múltiples; si D < 0, las tres raíces son reales. Ese dato no solo clasifica la ecuación: también te avisa de si Cardano es la vía más limpia o si conviene otro método.

La fórmula de Cardano y cómo se lee sin tropezar con la notación

La idea detrás de Cardano es elegante: escribir t = u + v y forzar la condición 3uv + p = 0 para que el cubo se simplifique. Entonces aparece un sistema muy manejable: u3 + v3 = -q y u3v3 = -(p3)/27. A partir de ahí, u3 y v3 son las raíces de una cuadrática auxiliar, y por eso la fórmula termina en raíces cúbicas.

Yo me quedo con esta versión porque es la más limpia para estudiar: primero calculas p y q, luego miras D y al final sustituyes. En muchos apuntes verás signos distintos en p y q; no es un error, solo cambia la convención con la que se hizo la reducción.

La versión que conviene memorizar es esta: t = ∛(-q/2 + √D) + ∛(-q/2 - √D). Después recuperas la variable original con x = t - b/(3a). Si la ecuación ya estaba reducida, ni siquiera necesitas ese último paso.

Hay un matiz importante: cuando D < 0, la fórmula sigue siendo válida en teoría, pero las raíces cúbicas pasan por números complejos aunque el resultado final sea real. Ese caso, conocido como casus irreducibilis, suele resolverse mejor con la forma trigonométrica o directamente con un método numérico si solo necesitas aproximaciones. Por eso merece la pena ver un ejemplo concreto con números.

Paso a paso con un ejemplo que sí se puede seguir a mano

Tomemos x³ + 6x - 20 = 0. Ya está reducida, así que aquí p = 6 y q = -20. El discriminante vale D = (−20/2)² + (6/3)³ = 100 + 8 = 108, por lo que esperamos una raíz real única.

1. Aplico la fórmula: x = ∛(10 + √108) + ∛(10 - √108).
2. Como √108 = 6√3, queda x = ∛(10 + 6√3) + ∛(10 - 6√3).
3. Al evaluar la expresión, se obtiene x = 2, que se comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Una vez encontrada esa raíz, factorizo: x³ + 6x - 20 = (x - 2)(x² + 2x + 10). Así se ve algo útil para examen: la fórmula no sustituye a la inspección rápida, la complementa. Si ves una raíz racional evidente, primero pruébala; si no aparece, Cardano te saca del atasco. Y si el polinomio se deja factorizar, mejor todavía.

Cuándo usar Cardano y cuándo no merece la pena

No todas las cúbicas se resuelven mejor con la misma herramienta. En clase y en exámenes, yo separo los casos así:

La regla práctica que me funciona es sencilla: primero busco estructura, después exactitud. En un examen de bachillerato o EBAU, yo no empiezo por la fórmula si hay una raíz racional a simple vista. Si la cúbica se deja factorizar, no la fuerzo con una expresión larga; si no se deja, Cardano es una salida muy sólida. Y si el objetivo es solo comprobar resultados, una aproximación numérica suele bastar.

Los fallos que más se repiten en clase y en examen

• No eliminar el término cuadrático antes de aplicar la fórmula. Sin la sustitución x = t - b/(3a), los signos se mezclan y el procedimiento pierde sentido.
• Olvidar dividir por a. La ecuación debe quedar normalizada; si no, p y q salen mal desde el principio.
• Confundir el signo de q. En la forma reducida t3 + pt + q = 0, el valor que entra en Cardano es exactamente ese q, no el opuesto.
• Creer que la raíz cúbica se reparte en una suma. No se puede pasar de ∛(a + b) a ∛a + ∛b.
• Interpretar D < 0 como “no hay soluciones reales”. En realidad, ahí suelen aparecer tres raíces reales, solo que la expresión cerrada se vuelve menos cómoda.
• Olvidar volver a la variable original al final. Si haces la reducción, el resultado no está completo hasta deshacer x = t - b/(3a).

El truco para no caer en estos errores es trabajar siempre en el mismo orden: normalizar, reducir, calcular p y q, mirar D y solo entonces decidir la vía. Saltarse un paso es la forma más rápida de perder tiempo en un ejercicio que, en realidad, sí tenía solución sencilla.

Lo que conviene llevarse a un examen de ecuaciones cúbicas

Si yo tuviera que resumir este tema en una sola idea, sería esta: la fórmula de Cardano sirve, pero la estrategia vale tanto como la fórmula. Primero busco raíces racionales, después reduzco la ecuación y solo entonces aplico la maquinaria algebraica. Ese orden no solo ahorra cálculo; también reduce muchísimo los errores de signo y de sustitución.

Para estudiar bien este bloque, merece la pena memorizar tres cosas: la sustitución x = t - b/(3a), el discriminante D = (q/2)² + (p/3)³ y la idea de que D te dice cuántas raíces reales debes esperar. Con eso, la resolución deja de ser una receta ciega y pasa a ser un proceso entendible. Y cuando un tema se entiende así, en un examen se recuerda mucho mejor.